RC, RL, LCR電路講義：

RC, RL, LCR電路講義：

1.複數z和相子(phasor)：

複數在直角座標系的表示法是：

z=x+jy (1)

x稱為實部，jy稱為虛部，x和y為實數，，z則是複數。

　

若以極座標方式來表示，則

(2)

其中，q(為輻角)。若x為正實數則z在第一和第四象限，則

(3)

若x為負值則z在第二和第三象限，則

(4)

另一種有用的複數表示方法，稱為尤拉表示式，即

(5)

上式明顯地較極座標表示方便了許多。由(1)，(2)和(5)式知複數z可以表示成：

(6)

複數的加(減)時，要先簡化成直角座標表示後，實部與實部，虛部與虛部相加(減)後即可，而相乘或相除，則以尤拉表示式運算較方便，例如

(7)

同理

(8)

複數在正弦或餘弦交流電路的運算分析中，是一個非常簡單且有利的工具，而在電路中以複數所表示的電壓、電流等物理量，我們通稱之為相子(phasor)，例如交流電壓

(9)

而相子定義成：

(10)

如下圖所示左邊是由相子所組成的相位圖，而右邊是電壓隨時間演變的情況。

　

　
相位圖使得交流電的運算方便了許多，下面的例子就是一個很好的證明。在如下的相圖中，標試著兩個相子；和。

其中，而，當要計算時，則由相位圖可以很容易求出：

(11)

另一種方法是直接由相子的相減得到(11)式的結果。

2.交流電路中電流與電阻、電感、電容的相位關係：

如圖四所示，交流電流流經一電阻R。

　

　

由歐姆定律知，通過電阻a b兩端的電壓降為VR=IR，得

(12)

很明顯地上圖中的電流與電阻是同相位的，也就是沒有相位差的意思。在圖五中表示出電流與電阻的相位關係。

第(12)式也可以用相子表示，即

(13)

第(13)式的虛部部份就等於第(12)式。交流電路中電感的效應與電阻不同，如圖六所示，交流電流流經一電感L。

由法拉第定律，知通過電感a b兩端的電壓降為VL=，故得

(14)

很明顯地上式中的電流與電感的相位差是90o，而且是電感的相位超前電流90o。在圖七中表示出電流與電感的相位關係。

　

　

第(14)式也可以用相子表示之即

(15)

第(15)式和(13)式對照後，可以發現j�L就相當於電路中的電阻R，事實上j�L就稱之為電感的電抗，以符號XL表示，而複數j表示電感所造成之電位較電流領先90o。第(15)式的虛部部份就等於第(14)式。

　

另一個在電路中，除了電阻，電感外另一常見的基本元件是為電容C。在圖八交流電路中I=I0sin�t，則電容a b兩端的電位差(或稱電壓降)，VC等於電荷Q除以電容C。

(16)

K表常數與t=0時的初始條件有關，我們可以令其為零，則

(17)

由第(17)式知電容的相位較電流的相位落後90o。圖九中畫出電流和電位的相位關係。

　

　

　

第(17)式也可以用相子表示之，即

(18)

而是由電容所造成的電抗(reactance)，XC複數，表示電容所造成電壓的相位較電流的相位落後90o。第(18)式的虛部部份就等於第(17)式。

3.阻抗Z(Impedance)：

交流電路中的阻抗，是一個複數。例如一簡單的RC串聯的交流電路中阻抗Z就等於電阻R與電抗Xc的和，即Z=R+ Xc也就是

(19)

當交流電流流過R和C串聯的電路時，總電壓降VT等於電阻所造成的電壓降和電容所造成的電壓降之和，即

(20)

若以相子表示時

(21)

則被稱之為此電路之阻抗。同理在RL串聯的交流電路中，阻抗可以寫成

Z=R+j�wL (22)

而且在此電路中，總電壓降就等於電阻所造成的電壓降加上電感所造成的電壓降，即

(23)

若以相子表示則：

(24)

由上述的簡單討論在(22)和(24)式中，阻抗就和歐姆定律中的電阻相類似，R是電壓和電流的比值，而阻抗是電壓相子和電流相子的比值。

當R,L,C三者串聯時，此電路之阻抗Z就可以寫成

(25)

而且電阻、電感和電容所產生的電壓相位關係，即各相子間的關係，如下圖(圖十)所示。
　

　

而相子間的關係式可以寫成下式：

(26)

如圖十一所示。�f表示流電流與電壓間的相位角度關係，可以表成

(27)

　

　

　　4. 均方根值(RMS)平均功率和功率因子：
交流電路的瞬時電流可以寫成I=I0sinwt，提供此電流的瞬時電壓就可以是：

V=V0sin(wt+�f) (28)

其中f是指電流和電位間的相位差。例如跨接電阻的兩端則相位� =0。則瞬時電阻所消耗的功率P是

(29)

而平均所消耗的功率等於上式，在一個週期內的平均值，也就是

(30)

其中Irms就是電流的均方根值，(或是有效值)，也就是平方的平均值開根號的意思，即

(31)

其中：

故 (32)

另一種解法：

cos²�q+sin²�q=1

所以

1=(cos²q+sin²q)av=(sin²�q)av+(cos²�q)av

而一個2p循環中

(cos²�q)av =(sin²�q)av

相同的方法，也可以求得交流電路中的有效電壓，也就是電壓的均方根值，即

(33)

而且 Vrms=Irms×R (34)

而電阻平均功率，也可以稱之為均方根功率

Pav =Irms2R (35)

對於通過電感的交流電流，電感所消耗的瞬時功率為：

(36)

很明顯地，上式一個週期的平均值等於零，也對就是平均功率是為零的。

對於通過電容的交流電流，電容所消耗的瞬時功率為

(37)

同樣的平均功率也為零。

在RLC串聯的電路中，瞬時的功率為

(38)

�為電流和電壓間的相位差而平均功率等於上式一個週期的平均，故

(39)

而故

(40)

上式的結果是祗有電阻才消耗能量。cos�稱之為功率因子，當cos�=1時，表示電路中僅有電阻存在，而cos� =0時，表示是純電感或電容的型態。由阻抗的概念上式也可以寫成

(41)

^或是

5.共振電路：

電路的共振現象與彈簧的共振是可以相互對應的。共振電路是指一種在所有頻率中只有利於一特殊頻率的電路，就如同彈簧一樣，僅對某一特定頻率才會共振。正因為共振電路僅對某一特定頻率有響應，故具有濾波的功常在收音機和電視信號的接收都是一種共振電路。以上就幾個簡單共振電路加以說明。

　

　

圖十二表示一種簡單的LC串聯電路，共振是在某一特定頻率才會發生，結果使得AB兩端之阻抗ZAB=0。即

ZAB=XC+XL=0

故

�w0即為LC串聯時的共振頻率，而頻率在�w0時此線路阻抗為零，視為短路電路。

　

　

　

圖十三表示一簡單LC並聯電路，AB兩端之阻抗為ZAB

故

當時，ZAB→∞，，而達成共振，此時是以開路看待。一般無線電波的接收器，都有LC並聯的線路，如下簡圖所示：

　

　

　

　　

上圖中天線接所有的頻率，但僅共振頻率的波會經由放大器放，大而其餘的電波流入接地。

實際的電路中一定會有電阻，如下圖中R.L.C串聯的電路中，其阻抗ZAB為

　

在共振時，XL+XC=0，而ZAB=R，對於不同頻率的電壓輸入時，其電流對頻率作圖為

　

　

Q為品質因子(quality factor)，其定義為

其中�Dw為功率對頻率作圖時之半高寬，即一般所謂的頻寬(Band Width)。