交流電路分析講義

1:串聯並聯的交流電路

在了解相子和阻抗的定義後,對於交流電路的分析就如同對直流電路分析一般,許多原理都是相通的,如歐姆定律,克希何夫定律等。

若一電路的電位相子為,電流相子為,且Z為電路之總阻抗

(1)
此即相似於直流電路的歐姆定律,故將數個阻抗Zi串聯,所得之總阻抗ZT
(2)
若將數個阻抗Zi相並聯時,其總阻抗ZT
(3)
上兩式與電阻的串聯、並聯完全一樣。一般為了使第(3)式計算簡便,而引進一個新的量,稱之為導納Y(Addmitance)故第(3)式可以寫成
(4)
以下舉出兩個簡單電路,第一個例子是RLC串聯的電路。

 

 

 

上圖中的阻抗可以寫成

(5)
值得一提的是阻抗是複數而以寫成,其中相角就是電流與電壓兩者的相位關係。第二個例子是當電阻、電容與電感三者並聯,如圖二所示。

其阻抗ZAB是:

(6)

 

 

 

 

2:克西何夫定律

在直流電路中的克西何夫定律也通用於交流電路中。基本上克西何夫定律有二個,一個是迴路定律,而另一是接點定律。所謂迴路就如圖三中l,是指封閉的電路。

克西何夫迴路定理是指一迴路中電壓降的總和為零。我們以圖三中RLC串聯的交流電路,來作說明。

 

 

 

 

 

首先由微分程式的形式寫下克西何夫的迴路定律,即

(7)
或是 (8)

去了解微分方程當然可以求得一切電路中所有物理量之值,但較為繁雜。應用阻抗相子的概念,會使得運算較為容易,例如利用迴路定律圖三中的迥路有下式關係

(9)
其中各為電路中電流和壓源的相子,故

(10)

上式也可以解出電路中任何的物理量,但顯然較為容易。

 
 

 

 
 
  克西何夫的節點定律,是指進入節點的電流總和與流出節點的電流總和相等。在圖四中x點和y點就是所謂的節點,在x節點上利用相子的概念,可以有
(11)
因為是並聯故電壓均相等

(12)

上三式說明了,IRVS同相位,ILVS落後90o,而ICVS提前。也訧是說IRIS同相位IL落後90o,而ICIS提前,其相位圖為
 


 

不容否認的並聯的線路若以上兩式方式來解是可以得到所需之解,但感覺上略為繁瑣了些,故利用等效電路的方法可以將問題簡化許多。
3:戴維寧和諾頓等效電路定理 在作電路運算時,經常是相當複雜,又有串聯、並聯,又是電容、電感、電阻等所以易發生錯誤,故而用等效電路的方法可以使得問題較易解決。所謂兩電路等效,我們可以用下圖作說明

 

 

圖六(a)中是兩並聯電阻的電路,而圖六(b)中的電阻R值恰等於R1R2並聯後的值,則(a)(b)兩者等效,兩者性質完全一致。上述說明了等效的意義,而一般我們感興趣的交流電路問題只是兩端點間電壓、電流等的性質,故不需要處理全部計詳細的細節,利用等效電路方式可以讓電路中處理方式簡化。

電路分析時將我們想了解之兩端點之電路加以簡化,或成一等效電路,利用選取電壓等效電路和電流等效電路方法簡化電路。

戴維寧定理是說明對於任一線性的兩端點電路可以由一電壓源串取一等效阻抗而組成電壓等效電路。若此電源之電壓以oc表示,而等效阻抗以Zeq表示,即如圖七所示

 
 

oc是等於原始電路中A,B兩端的電壓,而Zeq是將原始電路中所有的電壓源短路而電流源斷路性況下,AB間所測得之阻抗。例如圖八中的等效電路之oc

(13)
為求Zeq,將電壓源短路後,R1R2對於AB端點是並聯的形成,故Zeq
(14)

 

 

 
 
 上述的這個例子並不能顯示出簡化電路的功用,讓我們再舉例說明戴維寧等效原理簡化電路的功用,如圖九的交流電橋形式的電路。
 

 
 

交流電橋至化簡後變成圖十的有效電路,如此


 

 
  在計算上也比較容易,其中
(15)

(16)

另外一種類型的等效電路是為電流等效電路的諾頓等效定理。諾頓定理與戴維寧類似,但諾頓等效電路包含一電流源Isc和一等效阻抗Zeq並聯來取代兩端點間複雜的電路,如下圖所示

 

 

 

 

 

在一複雜的電路中,任意兩端點間的電路皆可以由一電流源Isc並聯於一有效阻抗Zeq所取代。由原始電路中將AB短路後,流經AB間的電流即諾頓等效電路中的電流源Isc,而Zeq的決定與戴維寧等效定理決定Zeq方法完全一樣。

當電路中有多於一個電源時,必須要用重疊定理去求解。所謂重疊原理是指在電路中跨越任何元件的電壓,或是通過任何元件的電流可以籍著取出每一個電源單獨作用所產生的跨越該元件的電壓或是通過該元件電流之代數和而求得。明顯的重疊原理是求出一元件由每一個電源所產生的效應,然後將這些代數和的效應,是指通過元件的電壓和電流。然而對於元件消耗功率是不可以用重疊定理的。

 

例題:利用戴維寧原理求下圖中經過R5的電流。

 

 

 

解:步驟一:先將R5移去,兩端點電壓以VTh代之,如圖十三所示。

 

 

  利用克西何夫定律求出VTh,因為 故得

步驟二:將所有的電壓源以通路代替,而電流源以斷路代替,如圖十四所示,並求得等效電阻RTh

 
步驟三:將線路變成一內電阻為RTh的電壓源VTh的等效電路與R5相連下圖所示,即可以求出電流I5