設計實驗

 

探討主題:流體流速

    

伯努利原理

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

指導教授:賈至達 教授

    生:蘇文義

    號:589411007


實驗主題:流體流速與伯努利原理

 

有關流體的部份,總是會想到伯努利(Bernoullis)原理,日常生活中也有很多流體的物理現象,一般人看到流體的物理現象,總是會說是“伯努利(Bernoullis)原理”,但卻很少會有像在觀察運動學般的實驗精神,大概也是它不太容易測量吧!這次進行這個實驗最主要是把書本上的伯努利(Bernoulli’s)原理作實際的測量,雖不敢說能完全在實驗過程中做到有如理想般的流體,至少可以去驗證原理從實驗中找出可能影響流體流速、流量的因素並做改進,並把實際生活中的流體現象和理論做比較。
  進行這個實驗當然有一個更重要的目的,是希望能藉由這個實驗去改變一般常犯的錯誤,國、高中學生常會認為:『在如圖的容器器壁鑽了三個垂直於器壁的小孔,則因“孔愈深,壓力愈大,水就噴的較遠,因為(壓力P=深度×密度),所以噴的距離會和深度成正比,並認為右圖的水噴出的距離一定是如此”』,這樣的一段敘述當然不能說完全錯誤,但是卻是有一些地方的考慮欠周詳,至於有那些地方的敘述有問題呢?我打算從這個實驗讓學生來了解,並希望他們看了之後也能自己動手來做做看

 

就實驗原理而言,當然我們先假設水是理想流體,當然對於一般流體並非理想流體,畢竟理想流體的假設為:無黏滯性、具穩定性、無旋性及不可壓縮性,而對於一流體質量守琲疑鰜Y,可以連續方程式(equation of Continuity)表示

                 

而對於這個實驗基本原理就是伯努利方程式(Bernoulli’s equation),這是西元1738年伯努利應用功能互換關係於無黏滯性、不可壓縮的理想流體所推得的關係

   

       W=W1-W2=(P1-P2)ΔV 

                 

          W=+

         

底下進行的這個實驗就是應用伯努利原理來探討開孔的流速問題,最初我將整個實驗的流體假想為理想流體,所以在測量上就可以利用下面的關係

    

 

    

 

開孔處的壓力為Pa,流體的流速為V1, 高度為H,水槽內流體壓力為P,下降流速V2,高度為Ht ,

利用這樣推得的關係設計出下面的測量方法:

 

 

如圖Hth+H

利用開孔水流以水平的流速作一水平拋射的運動,測量水落地的距離x及開孔的高度H,則由水平拋射的運動可知

可推知

這整個實驗所用來實驗的流體-「水」,畢竟不是理想流體,所以對於孔口開於容器之壁上,流體經此孔口而流出容器外。從一些文獻資料上來探討可知孔口可做成方邊或圓邊,而且些流量之大小則與孔口之大小、形狀類型有關。因孔口之邊緣會產生阻力,要減弱此阻力,需儘量將孔口之邊緣製成圓銷的邊緣。而容器內流體之速度在接近孔口處其轉彎無法成直角,於是流體在轉彎之曲率半徑方向處有一速度分量,造成噴柱截面的縮減。截面最小處,亦即速度最大處(壓力仍為大氣壓力),稱之為束縮截面(vena contracta),依伯努利原理所推得僅係理論值,已略去能量損失。而實際測量時會有一速度係數(Coefficient of velocity)Cv,為

               

  流量為速度與截面積之乘積,而束縮係數Cc(coefficient of Contraction)

                   

由上式式知束縮截面之面積為 CcAo ,因此真實的流量大小應為

       

流量係數 Cd (Coefficient of discharge) 訂為

 

因此實際的流量會較理想的流體為小,在實驗中速度係數<1,亦將會使得測量結果較理論的速度小,實驗中也將依測量結果來探討此項係數的變因

 

實驗裝置乃是利用一般市售2公升裝寶特瓶,連接而成如下圖的裝置,裝置看來簡單,但是實驗的進行卻仍需耐心的去修正開孔、水流方向及測量,並克服水柱在距離較遠時容易因流體在轉彎之曲率半徑方向的速度分量而分散,造成不易測量...等因素

利用保特瓶做成的實驗裝置

開孔的水流(需使初速方向為水平方向)

利用鐵架將裝置架高進行實驗

實驗裝置正面圖

 

就幾次的實驗結果,我取了其中幾次的數據來探討其中的變因,分列於後來討論

1.         H=50cm,開孔直徑d=2r=0.65mm,寶特瓶之孔徑=110mm(因A2>>A1,所以V2<<V1)實驗過程中記錄每下降1公分的時間t及噴出的距離x這個實驗共進行了兩個多小時,將其噴出距離x  v.s. 高度h作圖比較,從圖上明顥可看出實際上的流速比理論上的推論有一段明顯的差距,實驗結果的曲線關係如下圖所示

因由測量原理上

在這次的實驗我們以H=50 cm來進行實驗,理論值斜率=4×50=200

而實際實驗結果為166.44,在誤差上來看為16.78%,若以誤差來探討,是把水當成理想流體,但實際上並不是,所以較適合的是以在前面討論到流體會有孔徑的束縮截面及速度係數來分析,因此進一步探討實驗所得的各種關係;若將之前所討論的誤差以速度係數來討論,則可得此實驗的速度係數約為(16.307/19.6=0.83),但是另外如果將每一個實驗的測量求出對應高度的理論速度與實際速度來算出速度係數作成下圖的關係,又發現速度係數並非一個定值,在高度>38cm以上時,速度係數在0.8以上,但在h<10cm時,速度係數就只有在0.4~0.1之間,速度係數隨

著水位的高度減少而約略成一對數的關係Cv = 0.2661Ln(h) - 0.1962,很明顯的從實驗結果中我們觀察到了流速並不僅僅是依伯努利原理中對理想流體的探討就可以完成描述,流體的運動除了與高度、開孔形狀、開孔大小、開孔方向...等有關外,也與流體性質有關,相同的條件下測量,水流的方式也並非都遵循著相相的規則,當然實驗並不能半途而廢,至少這是一個自然界中真實的現象,而這也是一個相當具有挑戰性的實驗。

 

2.     從上面的經驗與結果,再進行一些修正及改進,嘗試讓可能造成測量上誤差因素的影響減至最少,

而在進行實驗修正時,發現水柱在流下時時會有如右圖的現象,而測量時時,由於水柱在接近底部時較易呈分散狀,經過多次修整開孔邊緣後,仍不太容易改善,所以改變測量方式,如下的方式,以減少測量誤差

噴出之水柱示意圖

如圖所示,取固定的x,測量水柱噴至直尺時的高度y

可推知

在一開始測量時,發現與理論值相差太多的,就捨去不進行後面的測量,下面是兩組較完整的測量結果,實驗的控制變因分別是

H=33.5cmd=2r=0.75mm

H=33.5d=2r=2.60mmx=15cm,測量水柱噴出抵達直尺的高度值y

將測量的數據作開孔噴出速率 v.s. 高度 關係圖,發現在開孔直徑為2.60mm時的實際速度較接近理論值,而其速度係數在水位高度高於35cm以上時可達0.9~0.98,與理論值相距甚近,實驗至此推論,流速可能還著受一種與開孔大小有關的阻力,而這個阻力有可能就是黏滯力

原本從理論上推論:只要即A2>>A1,則V2<<V1 所以一開始即以針尖來開孔,但是後來從實驗結果中發現開孔的大小亦會影響到速度係數,將實驗所得速度係數結果合併列表於後,發現

對理想的流體,速度係數應=1,但從實驗結果來看,一般流體無法到達和理想流體一樣,實驗結果中也可以很明顯的看出水位深度及開孔的孔徑會影響速度係數的大小,不過對不同的孔徑,在某一水位深度以上,速度係數可以到達0.8以上,而到了水位深度很小時,速度係數相對的會變得很小,使得流體的流速減緩。進行實驗時經過多次的改進與從實驗過程中,發現流體的變因並不單純,除了開孔的形狀及邊緣的光滑程度之外,尚有很多很難改善的變因,如流體的漩性、黏滯性、附著力等都可能隨時間的不同而有差異

進行一個看似簡單的實驗,其實其背後的變因卻是相當的繁複,但是這是對一個真實現象的探討,自然不能說沒有結果,從實驗的過程中,除了去不斷的去改進實驗的控制變因外,尚需去蒐集相關的文獻來探討,其中也得到了下列的一些結論:

1.         理想流體的假設需包含:恆穩流(steady flow)、不可壓縮流 、無黏滯流 無旋流;而在實驗所得結果中,一直無法做到理論上的結果,也發現當水位離開孔愈近時,與理論的誤差會愈大,因此將流出的水柱利用數位相機拍下來分析如下圖(開孔直徑d=2.60mm)

h=55cm

h=40cm

h=30cm

l         在上面範圍的水位高度時,水柱流速快,而且在開孔附近的流體會出現類漩渦狀的水柱,中間會有一段水柱較為類似穩流狀,但到末段又會出現叉流而使水柱分散,也因此易造成測量上的誤差,適當修整開孔邊緣後,可使此現象造成的測量誤差在0.5cm~1.0cm之間

h=15cm

h=10cm

h=10cm

h=6cm

h=5cm

h=4cm

l         在水位高度較低時,在開孔附近時的水柱流速減緩,而使前段的流體看來類似穩流狀,但末段仍會出現叉流而使水柱分散,但情況較水位高時不明顯,此時造成的測量誤差可維持在0.5cm之內,且相對的水柱受到與開孔間黏滯力及水與器壁間的附著力影響會愈明顯,所以所觀察到的水平距離的縮短會有明顯變化

h=3cm

h=2cm

h=1cm

h~1cm

l         水位在5cm以下時的水流看起來會非常接近一個穩流,但在流出落下到接近底部時有時會造成水流的間斷,其原因可能是相對於它受到與開孔間黏滯力及水與器壁間的附著力影響更明顯,而使前一刻和後一刻的速率明顯變小,造成無法連繫,也因此水位到了約1cm的高度時,水柱已附著於器壁上

 

l         推究實驗測量與理論值上的差異,誤差原因並不單純,水流整體而言,

a       在高水位時,因壓力大,使水流較快,可能受附著力及黏滯力的影響不大,但卻有明顯不是理想流體的現象

b       在低水位時,壓力較小,受附著力及黏滯力的影響卻相對的明顯,致使流速更因而大受影響,在實驗結果中發現水位低時的誤差,會較高水位時的誤差明顯

2.         針對上面的分析後,發現原本在進行這個實驗時,只是想將流體的流速作定量的探討與伯努力原理的關係,經過不斷的實驗與改進,去驗證原理,但是水畢竟不是理想流體,除了本身和器壁之間有附著力、黏滯力之外,還需考慮容器內流體之速度在接近孔口處其轉彎無法成直角,於是流體在轉彎之曲率半徑方向處有一速度分量,造成噴柱截面的縮減。而管中流速分布因在孔口周圍受到的阻力會較大,中間較小,所以流速的分佈應該是如下圖的形式,以致於會造成前述的一些原因

 

(參考圖片摘自:http://nova.ame.ntu.edu.tw/~dsfon/FluidMachinery/

          由所查到的資料黏滯性的一個重要性是:流體分子時常會被在流體中運動的固體之表面拖著一起走,而在這運動物體的表面上形成一層薄薄的界層(boundary layer)。在界層中,流體的速率會由其最外層的自由流率變化致固體表面的零速率;致使實驗的變因不易控制。

3.         由於流體的變因甚多,從實驗的過程中,需儘量找出影響的因素去改進,進行實驗時的孔口開於容器之壁上,流體經此孔口而流出容器外。而又因孔口的流量之大小與孔口之大小、形狀類型有關,所以在開孔時需一再修正,如果開孔太過於粗糙時,會使水柱在開孔處即成分散,而使實驗無進行,而利用小刀及尖銳的物體去修飾開孔的邊緣,測試使能成集中水柱時再進行實驗,而在本次實驗中均採用圓形開孔,在修整上也會較為方便。另因孔口之邊緣會產生阻力,所以需將孔口之邊緣製成圓銷的邊緣。開口亦需儘量圓滑,才不致造成水柱的分叉,造成測量上的誤差,因此需經多次的測試

4.         因水不是理想流體,所以黏滯效應是在這個實驗不可忽略的因素。流體由大量分子所組成。相鄰兩層流體作流動時,由於流體分子間的相互作用,會在相反方向上產生阻止流體相對滑動或剪切變形的應力,這即是該流體的黏滯力。 由於流體中存在著黏性,流體的一部分機械能將變為熱能消秏,使流體流動出現許多複雜現象,例如邊界層效應摩擦阻力效應...等。自然界中各種真實流體都是黏性流體。其中有些流體黏性較小(例如水、空氣),有些則很大(例如甘油,機油..等),而黏滯係數愈大者,相對的在流動時的邊界層效應、摩擦阻力效應等都會較大,而影響液體的流速,而我在進行這個實驗時一開始時假設當流體黏度很小而相對滑動速度又不大時,黏滯力應是很小的情況,即可看成理想流體並利用伯努利原理來探討流速,但實驗時發現就如在實驗結果與討論中所提及的影響變因甚多

5.         實際上,水不會是理流體,實驗結果和理論上也有一些差距,從這個實驗卻可清楚的了解影響實際流體的流動的變因,並澄清我們在前言所說的,水噴出的距離不是和壓力成正比,另對於噴出的距離


對理想流體而言,考慮器壁上、下兩個噴水口(下標為b表示下方,下標為t表示上方):

 

 

5.         在這個實驗媮鷁M己經有明顯的因素可以知道,影響流體的流速不只是單純能量守琲漣B努利原理,可以完全囊括,但至少可以從實驗過程中,以此為出發點,去尋找更多可能影響實驗的因素,雖然這是一個看似簡單的實驗,但它背後所蘊藏的物理意義卻是包羅萬象,就如開孔的方法,在遇到問題後所蒐集到的資料,竟也是一大門學問,孔口的種類有同心孔口板,偏心孔口板與弓形孔口板...等,而孔口的類型孔口剖面類型也有如下的幾種方法,雖然在這實驗中無法利用有限的材料及工具去改進,但至少也已經讓我有不少的心得,並了解往後努力的方向

 

參考資料:

1.         SERWAY,Physics for Scientist & Engineers 3rd

2.         Harris BensonUniversity Physics

3.         孔口邊緣剖面類型,參考網址:http://nova.ame.ntu.edu.tw/~dsfon/FluidMachinery/

 

附錄:實驗數據

4.        

5.         參考資料:網址:http://www.phys.ntu.edu.tw/~newton/

6.         王德翔譯 流體機械 徐氏基金會大橋秀雄(葉朝蒼譯) 流體機械 正言出版社